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Este teorema te ayuda a expandir expresiones de la forma (a+b)n sin tener que multiplicar todo paso a paso.
(a+b)n=k=0∑n(kn)an−kbk
Donde:
Tk+1=(kn)an−kbk
Vamos a encontrar el tercer término de (x2+5)6.
1. La fórmula del Teorema del Binomio
La fórmula general para la expansión de un binomio es:(a+b)n=k=0∑n(kn)an−kbk
Donde:
- n es el exponente.
- k es el término que estás buscando (empieza en 0 y va hasta n).
- (kn) es el coeficiente binomial, que se calcula como:
(kn)=k!(n−k)!n! -
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2. El Triángulo de Pascal: Una forma sencilla
Para valores de n pequeños, puedes usar el Triángulo de Pascal para encontrar los coeficientes sin necesidad de la fórmula. Cada número es la suma de los dos que están directamente encima de él.- (a+b)0=1
- (a+b)1=1a+1b
- (a+b)2=1a2+2ab+1b2
- (a+b)3=1a3+3a2b+3ab2+1b3
- (a+b)4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4
-
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3. Ejemplo paso a paso: Expandir un binomio
Vamos a expandir (2x−3)4Paso 1: Identifica a, b y n
En este caso, a=2x, b=−3 y n=4.Paso 2: Usa los coeficientes (del Triángulo de Pascal)
Para n=4, los coeficientes son 1, 4, 6, 4, 1.Paso 3: Combina los términos
Ahora, usa los coeficientes y sigue el patrón para los exponentes: la potencia de a disminuye y la de b aumenta.- Término 1 (k=0): 1⋅(2x)4⋅(−3)0=1⋅(16x4)⋅1=16x4
- Término 2 (k=1): 4⋅(2x)3⋅(−3)1=4⋅(8x3)⋅(−3)=−96x3
- Término 3 (k=2): 6⋅(2x)2⋅(−3)2=6⋅(4x2)⋅9=216x2
- Término 4 (k=3): 4⋅(2x)1⋅(−3)3=4⋅(2x)⋅(−27)=−216x
- Término 5 (k=4): 1⋅(2x)0⋅(−3)4=1⋅1⋅81=81
Paso 4: Suma los términos
(2x−3)4=16x4−96x3+216x2−216x+814. Cómo encontrar un término específico
A veces no necesitas la expansión completa, solo un término en particular. Para eso, usamos la fórmula del término general:Tk+1=(kn)an−kbk
Vamos a encontrar el tercer término de (x2+5)6.
Paso 1: Identifica a, b y n
a=x2, b=5, y n=6.Paso 2: Encuentra k
Para el tercer término, k+1=3, por lo tanto, k=2.Paso 3: Sustituye en la fórmula
T3=(26)(x2)6−2(5)2- Calcula el coeficiente binomial:
(26)=2!(6−2)!6!=2!4!6!=2⋅1⋅4!6⋅5⋅4!=230=15 - Calcula las potencias:
(x2)6−2=(x2)4=x8
(5)2=25 - Multiplica todo:
T3=15⋅x8⋅25=375x8
